Spltv Metode Adonan – Pola Soal Dan Penyelesaiannya

Kali ini aku akan membahas cara memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode adonan (eliminasi & substitusi). Bagi adik-adik yang ingin tau menyerupai apa cara menuntaskan SPLTV dengan metode adonan (eliminasi & substitusi). Silahkan adik-adik lanjutkan membaca artikel ini hingga tamat yach.

Pengertian SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) yaitu Persamaan yang memuat tiga variabel / peubah yang dimana pangkat tertinggi dari ketiga variabel tersebut yaitu satu. Bentuk umum dari SPLTV yaitu sebagai berikut :

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Dengan a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, dan d₃ merupakan bilangan-bilangan real.
Keterangan:
a₁, a₂, a₃ = koefisien dari x
b₁, b₂, b₃ = koefisien dari y
c₁, c₂, c₃ = koefisien dari z
d₁, d₂, d₃ = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah

Pengertian Metode Gabungan

Metode Gabungan yaitu suatu metode yang dipakai untuk memilih himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara memakai dua metode sekaligus yakni metode eliminasi dan metode substitusi.

Pengertian Metode Eliminasi

Metode Eliminasi yaitu suatu metode yang dipakai untuk memilih himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel yang mempunyai koefisien yang sama, dan kalau variabel tersebut tidak mempunyai koefisien yang sama, maka kita harus samakan dahulu koefisiennya

Pengertian Metode Substitusi

Metode substitusi yaitu suatu metode yang dipakai untuk memilih himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara mengganti (mensubstitusi) salah satu variabelnya.

Metode Penyelesaian SPLTV

Untuk mencari atau memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) ada beberapa cara yang sanggup digunakan, diantaranya yaitu :

1. Metode Eliminasi
2. Metode Substitusi
3. Metode Gabungan (eliminasi-subsitusi)
4. Metode Determinan Matriks

Nah, Pada kesempatan kali ini, Kak Aisyah akan membahas salah satunya saja yaitu cara mencari / memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode adonan (eliminasi-substitusi) beserta pola soalnya.

Adapun langkah-langkah untuk menuntaskan SPLTV dengan metode adonan yaitu sebagai berikut.

1. Pilih bentuk variabel yang paling sederhana
2. Eliminasi variabel pertama (misal z) dengan memasang-masangkan dua persamaan dari ketiga persamaan sehingga diperoleh SPLDV
3. Dari SPLDV, eliminasi lagi sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabel (misal x)
4. Dari nilai variabel yang telah ada (misal x), substitusikan ke persamaan sebelumnya (SPLDV) untuk memperoleh nilai variabel yang lainnya (misal y).
5. Tentukan nilai variabel ketiga (yaitu z) menurut nilai (x dan y) yang diperoleh.

Supaya adik-adik lebih memahami bagaimana caranya memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan memakai metode gabungan. Berikut ini ada beberapa pola soal sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) metode adonan (eliminasi-substitusi) dan penyelesainnya

#Contoh Soal 1

Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode gabungan.
  x + 2y +   z = 6
3x −   y + 2z = 17
2x +   y −  z = 9

PEMBAHASAN :
Untuk memudahkan proses penyelesaian, setiap persamaan linear kita beri instruksi nomor sebagai berikut : 
  x + 2y +  z = 6  ............. .(1)
3x −   y + 2z = 17 ............ (2)
2x +   y −  z = 9 ............... (3)

Langkah 1 : Eliminasi Persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh :
  x + 2y +  z = 6
2x +   y −  z = 9   [ + ]       
       3x + 3y = 15 ................. (4)

Langkah 2 : Eliminasi Persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh :
  x + 2y +   z  = 6   |x 2|
3x −   y + 2z = 17  |x 1|

2x + 4y + 2z = 12
3x −   y + 2z = 17   [ − ]
        −x + 3y = −5 ................. (5)

Langkah 3 : Eliminasi Persamaan (4) dan (5) sehingga diperoleh :
3x + 3y = 15
−x + 3y = −5   [ − ]
        2x = 10
          x = 5 

Langkah 4 : Substitusikan nilai x = 5 ke persamaan (4)
⇔ 3x + 3y = 15
⇔ 3(5) + 3y = 15
⇔ 15   + 3y = 15
⇔ 3y = 15 − 15
⇔ 3y = 0
⇔   y = 0

Langkah 5 : Substitusikan nilai x = 5 dan y = 0 ke pers. (1) sehingga diperoleh :
⇔ x  +  2y + z = 6
⇔ 5 + 2(0) + z = 6

⇔ 5 + 0 + z = 6

⇔ 5 + z = 6

⇔ 5 + z = 6

⇔ z = 6 – 5

⇔ z = 1

Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 5, y = 0 dan z = 1. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas yaitu {(5, 0, 1)} <=====JAWABANNYA
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik sanggup mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ x + 2y + z  = 6
⇒ (5) + 2(0) + (1)  = 6
⇒ 5 + 0 + 1  = 6
⇒ 6 = 6 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 3x − y + 2z = 17
⇒ 3(5) − (0) + 2(1) = 17
⇒ 15 − 0 + 2 = 17
⇒ 17 = 17 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ 2x + y − z = 9
⇒ 2(5) + (0) − (1) = 9
⇒ 10 + 0 − 1 = 9
⇒ 9 = 9 (BENAR)

Berdasarkan pembuktian tersebut, maka sanggup dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.

#Contoh Soal 2

Ani, Nia, dan Nisa pergi bahu-membahu ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk yaitu .....

PEMBAHASAN : 
Misalkan :
x = Harga Apel per-kg
y = Harga Anggur per-kg
z = Harga Jeruk per-kg

Langkah 1 : Buat Model Matematikanya
2x + 2y +   z = 67.000  ...........(1)
3x +   y +   z = 61.000  ...........(2)
  x + 3y + 2z = 80.000  ...........(3)

Langkah 2 : Eliminasi Persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh :
2x + 2y +   z = 67.000
3x +   y +   z = 61.000   [ − ]
          −x + y = 6.000  ...........(Pers. 4)

Langkah 3 : Eliminasi Persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh :
3x +   y +   z = 61.000  |x 2|
  x + 3y + 2z = 80.000  |x 1|

6x  + 2y + 2z = 122.000
  x  + 3y + 2z =   80.000    [ − ]
           5x − y = 42.000  ...........(Pers. 5)

Langkah 4 : Eliminasi Persamaan (4) dan (5) sehingga diperoleh :
−x + y =  6.000
5x − y = 42.000    [ + ]
      4x = 48.000
        x = 12.000

Langkah 5 : Substitusikan nilai x = 12.000 ke persamaan (4)
⇔ −x + y = 6.000
⇔ −12.000 + y = 6.000
⇔  y = 6.000 + 12.000
⇔  y = 18.000

Langkah 6 : Substitusikan nilai x = 12.000 dan y = 18.000 ke persamaan (1) sehingga diperoleh :
⇒ 2x + 2y + z = 67.000
⇒ 2(12.000) + 2(18.000) + z = 67.000
⇒ 24.000 + 36.000 + z = 67.000
⇒ 60.000 + z = 67.000
⇒ z = 67.000 − 60.000
⇒ z = 7.000

Jadi, harga Apel per kg yaitu Rp.12.000,  harga Anggur per kg yaitu Rp.18.000 , dan harga  Jeruk per kg yaitu Rp.7.000
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik sanggup mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ 2x + 2y +   z = 67.000
⇒ 2(12.000) + 2(18.000) + 7.000 = 67.000
⇒ 24.000  + 36.000 + 7.000 = 67.000
⇒ 67.000 = 67.000 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 3x + y + z = 61.000
⇒ 3(12.000) + (18.000) + (7.000) = 61.000
⇒ 36.000 + 18.000 + 7.000 = 61.000
⇒ 61.000 = 61.000 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒   x + 3y + 2z = 80.000
⇒ (12.000) + 3(18.000) + 2(7.000) = 80.000
⇒ 12.000 + 54.000 + 14.000 = 80.000
⇒ 80.000 = 80.000 (BENAR)

Berdasarkan pembuktian tersebut, maka sanggup dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.

Demikianlah artikel kali ini yang sanggup aku sampaikan. Semoga dengan adanya pembahasan Cara Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi) sanggup membantu sahabat Aisyahpedia khususnya kepada adik-adik yang sedang berguru matematika di BAB Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel singkat ini yang berjudul "Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)". Semoga isu yang terkandung dalam goresan pena ini sanggup bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam Sukses & Happy Learning....!!!

Bagikan Artikel ini