Spltv Metode Eliminasi – Teladan Soal Dan Penyelesaiannya

Kali ini aku akan membahas cara memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode eliminasi. Bagi adik-adik yang ingin mengetahui menyerupai apa cara mencari himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi. Silahkan adik-adik lanjutkan membaca artikel ini hingga selesai yach.

Cara mencari himpunan penyelesian SPLTV bahu-membahu tidaklah begitu sulit, asalkan sebelumnya adik-adik telah memahami bahan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) . Karena intinya cara yang dipakai untuk memilih himpunan penyelesaian SPLTV hampir sama dengan cara mencari himpunan penyelesaian SPLDV.

Namun sebelum kita masuk ke inti pembahasan artikel ini, alangkah baiknya sahabat Aisyahpedia mengetahui terlebih dahulu apa itu definisi dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dan Metode Eliminasi itu sendiri.

Pengertian SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) ialah Persamaan yang memuat tiga variabel / peubah yang dimana pangkat tertinggi dari ketiga variabel tersebut ialah satu. Bentuk umum dari SPLTV ialah sebagai berikut :

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Dengan a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, dan d₃ merupakan bilangan-bilangan real.
Keterangan:
a₁, a₂, a₃ = koefisien dari x
b₁, b₂, b₃ = koefisien dari y
c₁, c₂, c₃ = koefisien dari z
d₁, d₂, d₃ = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah

Pengertian Metode Eliminasi

Metode Eliminasi ialah suatu metode yang dipakai untuk memilih himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara menghilangkan atau mengeliminasi salah satu variabel yang ada, sehingga tersisa (diperoleh) sebuah persamaan dengan satu variabel.

Sebelum kita mengeliminasi suatu variabel tertentu dalam suatu persamaan, Pastikan bahwa variabel yang akan dihilangkan (dieliminasi) haruslah variabel yang mempunyai koefisien yang sama, dan kalau variabel tersebut tidak mempunyai koefisien yang sama, maka kita harus samakan dahulu koefisiennya dengan cara meng-kalikannya dengan suatu konstanta tertentu biar mempunyai koefisien yang sama. Untuk lebih jelasnya, silahkan dilanjutkan membaca artikel ini hingga selesai yach ^_^  .

Metode Penyelesaian SPLTV

Untuk mencari atau memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) ada beberapa cara yang sanggup digunakan, diantaranya ialah :

1. Metode Eliminasi
2. Metode Substitusi
3. Metode Gabungan (eliminasi-subsitusi)
4. Metode Determinan Matriks

Nah, Pada kesempatan kali ini, Kak Aisyah akan membahas salah satunya saja yaitu cara mencari / memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode eliminasi beserta rujukan soalnya.

Adapun langkah-langkah untuk menuntaskan SPLTV dengan metode eliminasi ialah sebagai berikut.

1. Pilih bentuk variabel yang paling sederhana
2. Eliminasi salah satu variabel (misal x) sehingga diperoleh SPLDV
3. Eliminasi salah satu variabel SPLDV (misal y) sehingga diperoleh nilai salah satu variabel
4. Eliminasi variabel lainnya (yaitu z) untuk memperoleh nilai variabel yang kedua
5. Tentukan nilai variabel ketiga (yaitu x) menurut nilai (y dan z) yang diperoleh.

Supaya adik-adik lebih memahami bagaimana caranya memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan memakai metode eliminasi. Berikut ini ada beberapa rujukan soal sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) metode eliminasi dan penyelesainnya

#Contoh Soal 1

Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode eliminasi.
2x  −   y −   z  = 3
3x  +   y + 2z = 13
  x  + 2y − 3z = 4

PEMBAHASAN :
Langkah Pertama, Kita tentukan variabel apa yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ke-tiga persamaan di atas, variabel yang paling sederhana ialah variabel y sehingga kita akan eliminasi y terlebih dahulu.

Langkah Kedua, Eliminasi salah satu variabel (y) sehingga diperoleh SPLDV
#Dari Pers. 1 dan Pers. 2
2x  −   y −   z  = 3
3x  +   y + 2z = 13  [ + ]

5x + z = 16 ...........(Pers. 4)


#Dari Pers. 2 dan Pers. 3
Note : Untuk menghilangkan variabel y, maka kita harus samakan dulu koefisiennya. Untuk menyamakannya, persamaan kedua dikali 2.

3x  +   y + 2z = 13  |x 2|
  x  + 2y − 3z = 4    |x 1|

6x  + 2y + 4z = 26
  x  + 2y − 3z = 4    [ − ]

5x + 7z = 22  ...........(Pers. 5)

Kita peroleh SPLDV sebagai berikut :
5x +   z = 16
5x + 7z = 22

Langkah ke 3 & ke 4,  Kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi

#Eliminasi variabel x, untuk memperoleh  nilai z :
5x +   z = 16
5x + 7z = 22    [ − ]
     − 6z = − 6
          z = 1

#Eliminasi variabel z, untuk memperoleh  nilai x :
5x +   z = 16  |x 7|
5x + 7z = 22  |x 1|

35x + 7z = 112
  5x + 7z =   22  [ − ]
        30x = 90
            x = 3

Langkah Terakhir,Kita Substitusikan nilai x = 3 dan z = 1, ke salah satu SPLTV. Misalnya kita pilih pers. 2x  −   y −   z  = 3 sehingga kita peroleh :

⇒ 2x – y – z = 3
⇒ 2(3) – y – (1) = 3
⇒ 6 – y – 1 = 3
⇒ 5 – y = 3
⇒ – y = 3 – 5
⇒ – y = – 2
⇒ y = 2

Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 3, y = 2 dan z = 1. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas ialah {(3, 2, 1)} <=====JAWABANNYA
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik sanggup mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ 2x − y − z  = 3
⇒ 2(3) − (2) – (1) = 3
⇒ 6 − 2 – 1 = 3
⇒ 3 = 3 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 3x + y + 2z = 13
⇒ 3(3) + (2) + 2(1) = 13
⇒ 9 + 2 + 2 = 13
⇒ 13 = 13 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ x + 2y − 3z = 4
⇒ (3) + 2(2) − 3(1) = 4
⇒ 3 + 4 − 3 = 4
⇒ 4 = 4 (BENAR)

Berdasarkan pembuktian tersebut, maka sanggup dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.

#Contoh Soal 2

Ani, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk ialah .....

PEMBAHASAN : 
Misalkan :
x = Harga Apel per-kg
y = Harga Anggur per-kg
z = Harga Jeruk per-kg

Langkah 1.
Buat Model Matematikanya
2x + 2y +   z = 67.000
3x +   y +   z = 61.000
  x + 3y + 2z = 80.000

Langkah 2. 
Eleminasi salah satu variabel, kita pilih variabel z yang akan dieliminasi, hingga diperoleh SPLDV
#Dari Pers. 1 dan Pers. 2
2x + 2y +   z = 67.000
3x +   y +   z = 61.000   [ − ]

−x + y = 6.000  ...........(Pers. 4)

#Dari Pers. 2 dan Pers. 3
Note : Untuk menghilangkan variabel z, maka kita harus samakan dulu koefisiennya. Untuk menyamakannya, persamaan kedua dikali 2.

3x +   y +   z = 61.000  |x 2|
  x + 3y + 2z = 80.000  |x 1|

6x  + 2y + 2z = 122.000
  x  + 3y + 2z =   80.000    [ − ]

5x − y = 42.000  ...........(Pers. 5)

Kita peroleh SPLDV sebagai berikut :
−x + y =  6.000
5x − y = 42.000

Langkah ke 3 & ke 4,  Kita selesaikan SPLDV di atas dengan metode eliminasi

#Eliminasi variabel y, untuk memperoleh  nilai x :
−x + y =  6.000
5x − y = 42.000    [ + ]
      4x = 48.000
        x = 12.000

#Eliminasi variabel x, untuk memperoleh  nilai y :
−x + y =  6.000   |x 5|
5x − y = 42.000  |x 1|

−5x + 5y = 30.000
  5x −   y = 42.000  [ + ]
          4y = 72.000
            y = 18.000

Langkah Terakhir,Kita Substitusikan nilai x = 12.000 dan y = 18.000, ke salah satu SPLTV. Misalnya kita pilih pers. 2x + 2y + z = 67.000 sehingga kita peroleh :

⇒ 2x + 2y + z = 67.000
⇒ 2(12.000) + 2(18.000) + z = 67.000
⇒ 24.000 + 36.000 + z = 67.000
⇒ 60.000 + z = 67.000
⇒ z = 67.000 − 60.000
⇒ z = 7.000

Jadi, harga Apel per kg ialah Rp.12.000,  harga Anggur per kg ialah Rp.18.000 , dan harga  Jeruk per kg ialah Rp.7.000
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik sanggup mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ 2x + 2y +   z = 67.000
⇒ 2(12.000) + 2(18.000) + 7.000 = 67.000
⇒ 24.000  + 36.000 + 7.000 = 67.000
⇒ 67.000 = 67.000 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 3x + y + z = 61.000
⇒ 3(12.000) + (18.000) + (7.000) = 61.000
⇒ 36.000 + 18.000 + 7.000 = 61.000
⇒ 61.000 = 61.000 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒   x + 3y + 2z = 80.000
⇒ (12.000) + 3(18.000) + 2(7.000) = 80.000
⇒ 12.000 + 54.000 + 14.000 = 80.000
⇒ 80.000 = 80.000 (BENAR)

Berdasarkan pembuktian tersebut, maka sanggup dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.

Demikianlah artikel kali ini yang sanggup aku sampaikan. Semoga dengan adanya pembahasan Cara Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi sanggup membantu sahabat Aisyahpedia khususnya kepada adik-adik yang sedang mencar ilmu matematika di BAB Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).


Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel singkat ini yang berjudul "Cara Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi". Semoga gosip yang terkandung dalam goresan pena ini sanggup bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam Sukses & Happy Learning....!!!

Bagikan Artikel ini