Spltv Metode Substitusi – Pola Soal Dan Penyelesaiannya

Hallo teman Aisyahpedia, Kali ini admin akan membahas cara memilih himpunan penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dengan Metode Substitusi. Bagi adik-adik yang ingin mengetahui menyerupai apa cara mencari himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode Substitusi. Silahkan adik-adik lanjutkan membaca artikel ini hingga selesai yah.

Namun sebelum kita masuk ke inti pembahasan artikel ini, alangkah baiknya teman Aisyahpedia mengetahui terlebih dahulu apa itu definisi dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) dan Metode Substitusi itu sendiri.

Pengertian SPLTV

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) ialah Persamaan yang memuat tiga variabel / peubah yang dimana pangkat tertinggi dari ketiga variabel tersebut ialah satu. Bentuk umum dari SPLTV ialah sebagai berikut :

a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃

Dengan a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, dan d₃ merupakan bilangan-bilangan real.
Keterangan:
a₁, a₂, a₃ = koefisien dari x
b₁, b₂, b₃ = koefisien dari y
c₁, c₂, c₃ = koefisien dari z
d₁, d₂, d₃ = konstanta
x, y, z = variabel atau peubah

Pengertian Metode Substitusi

Metode substitusi ialah suatu metode yang dipakai untuk memilih himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear (SPLDV & SPLTV) dengan cara mengganti (mensubstitusi) salah satu variabelnya.

Cara Penyelesaian SPLTV

Untuk mencari atau memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) ada beberapa cara yang sanggup digunakan, diantaranya ialah :

1. Metode Eliminasi
2. Metode Substitusi
3. Metode Gabungan (eliminasi-subsitusi)
4. Metode Determinan Matriks

Nah, Pada kesempatan kali ini, Kak Aisyah akan membahas salah satunya saja yaitu cara mencari atau memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode subtitusi beserta pola soalnya.

Adapun langkah-langkah untuk memilih himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode substitusi ialah sebagai berikut.
Pertama:
Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, lalu nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.
Kedua:
Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).
Ketiga:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.

Agar adik-adik sanggup lebih memahami bagaimana cara memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dengan metode substitusi. Silahkan adik-adik pelajari beberapa pola soal dan pembahasannya di bawah ini.

#Contoh Soal 1

Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini dengan metode substitusi.
x + 2y – z = 3
2x – y + z = 6
x – 3y + z = –2

PEMBAHASAN :
Pertama,
Kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel x sebagai fungsi y dan z sebagai berikut.
⇒ x + 2y – z = 3
⇒ x = 3 – 2y + z

Kedua,
Setelah itu, Substitusikan variabel X ke dalam persamaan kedua dan persamaan ketiga sehingga didapat sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

#Substitusikan Variabel X ke dalam pers. Kedua SPLTV
⇒ 2x – y + z = 6
⇒ 2(3 – 2y + z) – y + z = 6
⇒ 6 – 4y + 2z – y + z = 6
⇒ – 5y + 3z + 6 = 6
⇒ – 5y + 3z= 6 - 6
⇒ – 5y + 3z = 0 .......Pers.(1)

#Substitusikan Variabel X ke dalam pers. Ketiga SPLTV
⇒x – 3y + z = –2
⇒3 – 2y + z – 3y + z = –2
⇒ –5y + 2z + 3 = –2
⇒ –5y + 2z = –2 – 3
⇒ –5y + 2z = –5 .......Pers.(2)

Kita peroleh SPLDV sebagai berkut :
– 5y + 3z = 0
–5y + 2z = –5

Ketiga,
Selanjutnya, kita selesaikan SPLDV diatas dengan metode substitusi Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana. Misalnya kita pilih persamaan yang pertama.
⇒ – 5y + 3z = 0
⇒ – 5y = –3z
⇒ y =

3 / 5

z
#Substitusikan variabel y kedalam persamaan kedua SPLDV:
⇒ –5y + 2z = –5
⇒ –5 + 2z = –5
⇒ –3z + 2z = –5
⇒ – z = –5
⇒ z = 5

#Selanjutnya, Substitusikan nilai Z = 5 , ke salah satu SPLDV. Misalnya kita pilih pers. – 5y + 3z = 0 , sehingga kita peroleh :
⇒ – 5y + 3z = 0
⇒ – 5y + 3(5) = 0
⇒ – 5y + 15 = 0
⇒ – 5y = –15
⇒ y = 3

Terakhir,
Kita Substitusikan nilai y = 3 dan z = 5, ke salah satu SPLTV. Misalnya kita pilih pers. x + 2y – z = 3 sehingga kita peroleh :
⇒ x + 2y – z = 3
⇒ x + 2.3 – 5 = 3
⇒ x + 6 – 5 = 3
⇒ x + 1 = 3
⇒ x = 3 – 1
⇒ x = 2

Dengan demikian, kita peroleh nilai x = 2, y = 3 dan z = 5. Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLTV di atas ialah {(2, 3, 5)} <=====JAWABANNYA
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik sanggup mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ x + 2y – z = 3
⇒ 2 + 2(3) – 5 = 3
⇒ 2 + 6 – 5 = 3
⇒ 3 = 3 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ 2x – y + z = 6
⇒ 2(2) – 3 + 5 = 6
⇒ 4 – 3 + 5 = 6
⇒ 6 = 6 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ x – 3y + z = –2
⇒ 2 – 3(3) + 5 = –2
⇒ 2 – 9 + 5 = –2
⇒ –2 = –2 (BENAR)

Berdasarkan pembuktian tersebut, maka sanggup dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.

#Contoh Soal 2

Harga 2 kg mangga , 2 kg jeruk , dan 1 kg anggur ialah Rp.70.000,00 . Harga 1 kg Mangga , 2 kg jeruk , dan 2 kg anggur ialah Rp.90.000,00 . Jika harga 2 kg mangga , 2 kg jeruk , dan 3 kg anggur Rp.130.000,00 Maka harga 1 kg mangga, 1 kg jeruk, dan 1 kg anggur ialah ?

PEMBAHASAN :
Misalkan :
x = Harga mangga per kg
y = Harga jeruk per kg
z = Harga anggur per kg

Langkah 1, Buat Model Matematikanya
2x  + 2y  +    z   = 70.000
  x  + 2y  +  2z   = 90.000
2x  + 2y  +  3z   = 130.000

Langkah 2,
Kita tentukan dulu persamaan yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan yang ada, persamaan pertama lebih sederhana. Dari persamaan pertama, nyatakan variabel z sebagai fungsi x dan y sebagai berikut.
⇒ 2x  + 2y  +    z   = 70.000
⇒ z = – 2x – 2y + 70.000  

Langkah 3,
Setelah itu, Substitusikan variabel Z ke dalam persamaan kedua dan persamaan ketiga sehingga didapat sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

#Substitusikan Variabel Z ke dalam pers. Kedua SPLTV
⇒ x  + 2y  +  2z   = 90.000
⇒ x  + 2y  +  2(– 2x – 2y + 70.000)   = 90.000
⇒ x  + 2y  –  4x  – 4y + 140.000   = 90.000
⇒ –3x  – 2y  + 140.000 = 90.000
⇒ –3x  – 2y  = 90.000 – 140.000
⇒ –3x  – 2y  = –50.000  .......Pers.(1)

#Substitusikan Variabel Z ke dalam pers. Ketiga SPLTV
⇒2x  + 2y  +  3z   = 130.000
⇒2x  + 2y  +  3(– 2x – 2y + 70.000)   = 130.000
⇒ 2x  + 2y  – 6x – 6y+ 210.000   = 130.000
⇒ – 4x  – 4y  +  210.000   = 130.000
⇒ – 4x  – 4y   = 130.000 – 210.000
⇒ – 4x  – 4y   = –80.000 .......Pers.(2)

Kita peroleh SPLDV sebagai berkut :
–3x  – 2y  = –50.000
– 4x  – 4y   = –80.000

Langkah 4,
Selanjutnya, kita selesaikan SPLDV diatas dengan metode substitusi Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana. Misalnya kita pilih persamaan yang kedua.
⇒ – 4x  – 4y   = –80.000
⇒ – 4x = 4y – 80.000
⇒ x = – y + 20.000

#Substitusikan variabel x kedalam persamaan pertama SPLDV:
⇒ –3x  – 2y  = –50.000
⇒ –3(– y + 20.000)  – 2y  = –50.000
⇒ 3y – 60.000 – 2y  = –50.000
⇒ y – 60.000 = –50.000
⇒ y = –50.000 + 60.000
⇒ y = 10.000

#Selanjutnya, Substitusikan nilai y = 10.000 , ke salah satu SPLDV. Misalnya kita pilih pers. –3x  – 2y  = –50.000 , sehingga kita peroleh :
⇒ –3x  – 2y  = –50.000
⇒ –3x  – 2(10.000)  = –50.000
⇒ –3x  – 20.000  = –50.000
⇒ –3x  = –50.000 + 20.000
⇒ –3x  = –30.000
⇒ x = 10.000

Terakhir,
Kita Substitusikan nilai x = 10.000 dan y = 10.000, ke salah satu SPLTV. Misalnya kita pilih pers. 2x + 2y + z = 70.000 sehingga kita peroleh :
⇒ 2x + 2y + z   = 70.000
⇒ 2(10.000)  + 2(10.000)  +    z   = 70.000
⇒ 20.000  + 20.000  +    z   = 70.000
⇒ z + 40.000 = 70.000
⇒ z = 70.000 – 40.000
⇒ z = 30.000

Diperoleh nilai :
x (mangga)   =  10.000
y (jeruk)       = 10.000
z (anggur)    = 30.000

Jadi, harga mangga per kg ialah Rp.10.000,  harga jeruk per kg ialah Rp.10.000 , dan harga  anggur per kg ialah Rp.30.000
.
PEMBUKTIAN :
Untuk memastikan apakah nilai x, y, dan z yang diperoleh sudah benar, adik-adik sanggup mengeceknya sendiri dengan cara mensubtitusikan nilai x, y, dan z ke dalam ketiga SPLTV di atas.
#Persamaan Pertama
⇒ 2x  + 2y  +    z   = 70.000
⇒ 2(10.000)  + 2(10.000)  +    30.000   = 70.000
⇒ 20.000  + 20.000  +    30.000   = 70.000
⇒ 70.000   = 70.000 (BENAR)
#Persamaan Kedua
⇒ x  + 2y  +  2z   = 90.000
⇒ 10.000  + 2(10.000)  +  2(30.000)   = 90.000
⇒ 10.000 + 20.000  +  60.000   = 90.000
⇒ 90.000   = 90.000 (BENAR)
#Persamaan Ketiga
⇒ 2x  + 2y  +  3z   = 130.000
⇒ 2(10.000)  + 2(10.000)  +  3(30.000)   = 130.000
⇒ 20.000  + 20.000  +  90.000   = 130.000
⇒ 130.000   = 130.000 (BENAR)

Berdasarkan pembuktian tersebut, maka sanggup dipastikan bahwa nilai x, y dan z yang diperoleh sudah benar dan memenuhi sistem persamaan linear tiga variabel yang ditanyakan.

Demikianlah artikel kali ini yang sanggup aku sampaikan. Semoga dengan adanya pembahasan Cara Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi sanggup membantu teman Aisyahpedia khususnya kepada adik-adik yang sedang mencar ilmu matematika di BAB Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).

Terima kasih telah berkunjung dan meluangkan waktunya untuk membaca artikel singkat ini yang berjudul "Cara menuntaskan SPLTV dengan Metode Substitusi". Semoga warta yang terkandung dalam goresan pena ini sanggup bermanfaat bagi anda yang membutuhkannya.


Salam Sukses & Happy Learning....!!!

Bagikan Artikel ini